Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Modris Kļaviņš
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju gads
2 Saturs 2 1. Grobnera bāzu pielietojumi Polinomiālo vienādojumu sistēmu risināšana Polinomiālo vienādojumu sistēmas seku ideāls Izslēgšanas ideāli Polinomiālas vienādojumu sistēmas risināšanas algoritms Parametriskā pieraksta pārveidošana vispārīgajā (implicitizācija) Implicitizācijas problēma Polinomiālās implicitizācijas algoritms Racionālās implicitizācijas algoritms Grobnera bāzu teorijas darbietilpīgie pierādījumi - patstāvīgā lasīšana Diksona lemma Buhbergera kritērijs Palīgrezultāti
3 Kritērijs Buhbergera algoritma pareizība Reducētās Grobnera bāzes vienīgums mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 37 3
4 Lekcijas mērķis: apgūt polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšanas algoritmu, kas izmanto Grobnera bāzes; ieskatīties Grobnera bāzu teorijas svarīgākajos pierādījumos. Lekcijas kopsavilkums: polinomiālai vienādojumu sistēmai var definēt ideālu, kura Grobnera bāze sniedz būtisku informāciju par tās atrisinājumiem un iespējām izslēgt nezināmos; polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšanu var izmantot, lai pārietu no līknes/virsmas parametriskā pierakstu uz vispārīgo; Grobnera bāzu teorijas pierādījumi ir grūti, it sevišķi Buhbergera kritērijs, var mēǧināt sākt tā apgūšana ar divu ǧeneratoru speciālgadījumu. 4
5 1. Grobnera bāzu pielietojumi Polinomiālo vienādojumu sistēmu risināšana Polinomiālo vienādojumu sistēmas seku ideāls Pieņemsim, ka ir dota polinomiālu vienādojumu sistēma (PVS) g 1 (X 1,..., X n ) = 0... g m (X 1,..., X n ) = 0 Ja elementu virkne (X 1,..., X n ) apmierina PVS, tad tā apmierina arī jebkuru seku vienādojumu h 1 g 1 + h 2 g h m g m = 0, kur h i k[x 1,..., X n ]. Seku vienādojumu kreisās puses interpretēsim kā ideāla elementus. Ideālu I = g 1, g 2,..., g m sauc par PVS seku ideālu.
6 Ideālam I var atrast RGB. Izrādās, ka RGB elementiem atbilstošos vienādojumus ir ērtāk risināt nekā sākotnējos vienādojumus. 6 Vienkāršākais GB pielietojums PVS risināšanā: 1 G(I) = 1 = 0 = PVS nav atrisinājumu Izslēgšanas ideāli Viena no vēlmēm PVS risināšanā ir iegūt seku vienādojumus, kas ir atkarīgi no pēc iespējas mazākas nezināmo kopas - izslēgt nezināmos. Par j-to izslēgšanas ideālu I j (1 j < n) sauc kopu I k[x j+1,..., X n ]. Redzam, ka I j elementi nav atkarīgi no nezināmajiem X 1,..., X j.
7 teorēma. 1. j I j ir ideāls gredzenā k[x j+1,..., X n ]. 2. F = G(I) = F k[x j+1,..., X n ] = G(I j ). PIERĀDĪJUMS 1. f, f I j = f + f I j. f I j r k[x j+1,..., X n ] = rf I rf k[x j+1,..., X n ] = rf I k[x j+1,..., X n ] }{{} =I j. 2. f I j = g l F : H(g l ) H(f). H(g l ) nedalās ar X 1,..., X j = neviens g l loceklis nedalās ar X 1,..., X j, jo tie visi ir mazāki nekā H(g l ). Seko, ka g l F k[x j+1,..., X n ].
8 f I j g l F k[x l+1,..., X n ] tāds, ka H(g l ) H(f) = F k[x j+1,..., X n ] = G(I j ) piezīme. No teorēmas seko, ka GB var saturēt elementus, kas saista tikai dažus argumentus: ja eksistē sakarības, kas saista nezināmos X j+1,..., X n, tad I j {0}, un šādas sakarības noteikti parādīsies kā GB elementi. Risinot PVS var būt nepieciešams mainīt argumentu kārtību - izslēgšanas kārtību Polinomiālas vienādojumu sistēmas risināšanas algoritms Virkni (a l, a l+1,..., a n ) k n l+1 sauksim par PVS ar n nezināmajiem P daļēju atrisinājumu, ja (a 1,..., a l 1 ) : (a 1,..., a l 1, a l,..., a n ) ir P atrisinājums. PVS risināšanai var izmantot šādu algoritmu: 1. Atrast seku ideāla I RGB.
9 2. Risināt PVS sākot no vienādojumiem ar mazāku nezināmo skaitu: atrast daļējos atrisinājumus un mēǧināt tos paplašināt līdz pilnajiem atrisinājumiem piezīme. Daļējo atrisinājumu paplašināšana ne vienmēr ir iespējama piemērs. Sistēmai X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 X 2 + Z 2 = Y X = Z seku ideāls ir I = X 2 + Y 2 + Z 2 1, X 2 + Z 2 Y, X Z. Tā GB ir {X Z, Y 2Z 2, Z Z2 1 4 }. No sākuma atrodam Z, tad Y un beigās X. Bet tā ir neveiksmīga kārtība. Labāk izvēlēties kārtību X Z Y. 9
10 10 Sistēmai { X 3 X Y 2 = 0 X 2 Y 3 = 0 seku ideāls ir I = X 3 X Y 2, X 2 Y 3. Tā RGB ir {X + Y 2 + Y 4 Y 7, Y 9 2Y 6 Y 4 + Y 3 }. No sākuma atrodam Y, tad X. Mainot argumentu kārtību, iegūsim vienādojumu attiecībā uz X ar deg = Parametriskā pieraksta pārveidošana vispārīgajā (implicitizācija) Implicitizācijas problēma Pieņemsim, ka Dekarta telpas R n apakškopa ir uzdota parametriski ar sistēmu X 1 = ϕ 1 (t 1,..., t m )... X n = ϕ n (t 1,..., t m ).
11 Var uzdot šādu jautājumus: vai koordinātes X 1,..., X n ir saistītas ar polinomiālām sakarībām, kā atrast šādas sakarības piemērs. Ja X = X 0 + pt Y = Y 0 + qt Z = Z 0 + rt, tad koordinātes saista divu lineāru vienādojumu sistēma { X X0 p = Y Y 0 q X X 0 p = Z Z 0 r Polinomiālās implicitizācijas algoritms Ja funkcijas ϕ i ir polinomi, tad implicitizācijas problēmu var saistīt ar atbilstošu PVS risināšanu un nezināmo t 1,..., t m izslēgšanu.
12 Izmantojot Grobnera bāzes implicitizācijas problēmu polinomiālu funkciju gadījumā var risināt saskaņā ar šādu algoritmu: 1. Definēt implicitizācijas ideālu I = f 1,..., f n k[t 1,..., t m, X 1,..., X n ], kur f i = X i ϕ i (t 1,..., t m ). 2. Atrast G(I) ar leksikogrāfisko sakārtojumu, kas atbilst argumentu kārtībai t 1 t 2...t }{{ m X } 1...X n. }{{} parametri koordinātes 3. Ja G(I) satur elementus, kas nesatur t 1,..., t m, tad ir iegūtas sakarības starp X 1,..., X n piemērs. Pieņemsim, ka telpā R 3 līkne ir uzdota parametriski ar sistēmu X = t 4 Y = t 3 Z = t 2 12
13 13 Šajā gadījumā implicitizācijas ideāls ir I = t 4 X, t 3 Y, t 2 Z. Tā RGB ir F = {t 2 Z, ty Z 2, tz Y, X Z 2, Y 2 Z 3 }. Redzam, ka līknes punkti apmierina divas sakarības X Z 2 = 0, Y 2 Z 3 = Racionālās implicitizācijas algoritms Implicitizācijas problēmu var risināt ar Grobnera bāzu palīdzību arī gadījumā, kad funkcijas ϕ i ir racionālas funkcijas: Realizēsim šādu algoritmu: X i = ϕ i (t 1,..., t m ) = P i(t 1,..., t m ) Q i (t 1,..., t m ).
14 1. Definēt implicitizācijas ideālu kur I = f 1,..., f n, f k[y, t 1,..., t m, X 1,..., X n ], f i = X i Q i P i, f = 1 (Q 1...Q n )Y. 2. Atrast G(I) ar leksikogrāfisko sakārtojumu, kas atbilst argumentu kārtībai Y t 1 t 2...t }{{ m X } 1...X n. }{{} parametri koordinātes 3. Ja G(I) satur elementus, kas nesatur t 1,..., t m, tad ir iegūtas sakarības starp X 1,..., X n piezīme. Ģenerators f = 1 (Q 1...Q n )Y ir vajadzīgs, lai saucēji Q 1,..., Q n nebūtu vienādi ar piemērs. Līkne uzdota parametriski ar sistēmu { x = 2t 1+t 2 y = 1 t2 1+t 2. 14
15 15 Implicitizācijas ideāla I = X(1 + t 2 ) 2t, Y (1 + t 2 ) (1 t 2 ), 1 (1 + t 2 )g GB satur ǧeneratoru X 2 + Y 2 1.
16 16 2. Grobnera bāzu teorijas darbietilpīgie pierādījumi - patstāvīgā lasīšana 2.1. Diksona lemma 2.1. teorēma. (Diksona lemma) Katrai kopai M N n eksistē galīga apakškopa {µ 1,..., µ k } M tāda, ka M S(µ 1 )... S(µ k ). (katru kopu M N n var pārklāt ar tās galīgas apakškopas {µ 1,..., µ k } elementu ēnām) PIERĀDĪJUMS Pielietosim matemātiskās indukcijas metodi ar parametru n. Indukcijas bāze n = 1 = M N. M minimālais elements ν 0, tādējādi M S(ν 0 ). Indukcijas solis Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess n < m un pierādīsim, ka tad tas ir patiess, ja n = m.
17 Definēsim π : N m N (m 1), π(x 1,..., x m ) = (x 1,..., x m 1 ). Saskaņā ar indukcijas pieņēmumu kopu π(m) var nosegt ar tās galīgas apakškopas elementu ēnām: {ν 1,..., ν l } π(m) tāda, ka π(m) S(ν 1 )... S(ν l ). ν i π(m) = µ i M : ν i = π(µ i ) = ( ) ( ) π(m) S π(µ 1 )... S π(µ l ). Definēsim M u = {(x 1,..., x m ) M x m = u}, M u = M u M u+1... = M w. w u Apzīmēsim ar N µ 1,..., µ l m-tās koordinātes maksimālo vērtību. Redzam, ka M = M 1... M N 1 M N. 17
18 Pierādīsim, ka M i un M N var nosegt ar galīgas kopas ēnām: i kopai M i m-tā koordināte ir fiksēta, tāpēc M i var identificēt ar N (m 1) apakškopu, saskaņā ar indukcijas pieņēmumu seko, ka M i var noklāt ar galīgas apakškopas elementu ēnām, M N S(µ 1 )... S(µ l ). Apvienojot visus elementus, kuru ēnas nosedz M i un M N iegūsim meklējamo galīgo nosedzošo kopu Buhbergera kritērijs Palīgrezultāti Zemāk apzīmēsim multideg(f) ar mdeg(f) ( teorēma. ) (redukcijas ( īpašība) Dots, ka G = {g 1,..., g m }. f G = 0 = f = ) m i=1 h ig i, kur mdeg(h i g i ) mdeg(f).
19 PIERĀDĪJUMS Veiksim redukcijas soļu virkni sākot ar f, kuras rezultātā rodas 0. Iegūsim vienādību m f = h i g i, i=1 kur h i ir dalījumi, katrs redukcijas solis ar g j pievieno vienu termu pie h j. Pirmā redukcija, kas samazina vecāko termu, pievienos dalījumam h j termu hg j, kuram mdeg( hg j ) = mdeg(f). Visiem pārējiem termiem mdeg<mdeg(f) teorēma. (S-polinomu īpašības) Dots, ka H(f) = ax α, H(g) = bx β. ( ) ( ) 1. mdeg S(f, g) < mdeg MKD(X α, X β ). 2. S(f, g) = S(g, f). 3. α = β = S(f, g) = 1 a f 1 b g. 19
20 20 4. S(X µ f, X λ g) = X ν S(f, g), kur X ν = MKD(Xµ X α, X λ X β ) MKD(X α, X β. ) PIERĀDĪJUMS 1. S-polinomā S(f, g) = Xγ H(f) f Xγ H(g) g locekļu Xγ Xγ H(f) f un H(g) vecākie termi ir vienādi ar Xγ un saīsinās. Pāri var palikt tikai leksikogrāfiski mazāki termi. 2. Seko no S-polinoma definīcijas. 3. α = β = γ = α = β = S(f, g) = Xα ax α f Xα bx α g = 1 a f 1 b g.
21 4. Ievērosim, ka H(X µ f) = ax µ+α un H(X λ g) = bx λ+β. Apzīmēsim MKD(X µ+α, X λ+β ) ar X ω. Redzam, ka S(X µ f, X λ g) = MKD(Xµ+α, X λ+β ) (X µ f) ax µ+α MKD(X µ+α, X λ+β ) bx λ+β (X λ g) = Xω ax α f Xω bx β g = X ω ( X γ ) X γ ax α f Xγ bx β g = Xω X γ S(f, g) = Xω γ S(f, g) = X ν S(f, g) teorēma. Dots, ka {f 1, f 2 } k[x 1,..., X n ]. Ir spēkā f 1 un f 2 vecāko monomu vienādība: mdeg(f 1 ) = mdeg(f 2 ) = δ. (Citiem vārdiem sakot, H(f 1 ) H(f 2 )). Definēsim f = c 1 f 1 + c 2 f 2, kur c i k. Tad ( ) ( ) mdeg(f) < δ = d k : f = d S(f 1, f 2 ).
22 PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka H(f i ) = a i X µ. Tā kā H(f) H(a i X µ ), tad c 1 f 1 + c 2 f 2 vecākie termi saīsinās = c 1 a 1 + c 2 a 2 = 0 = c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 a 1 f 1 a 1 + c 2 a 2 f 2 a 2 = ( 1 c 1 a 1 f 1 1 ) f 2 = α 1 a 1 S(f a 1 a 2 }{{} 1, f 2 ). =d teorēma. Dots, ka {f 1,..., f m } k[x 1,..., X n ]: mdeg(f 1 ) =... = mdeg(f m ) = δ. Definēsim f = m 1 c if i, kur c i k. Tad ( ) ( mdeg(f) < δ = d ij k : f = i,j ) d ij S(f i, f j ). PIERĀDĪJUMS
23 Pieņemsim, ka H(f i ) = a i X µ. Tā kā H(f) H(a i X µ ), tad lineārās kombinācijas m i=1 c if i vecākie termi saīsinās = m c 1 a c m a m = c i a i = 0 = i=1 c 1 f c m f m = c 1 a 1 f 1 a c m a m f m a m = c 1 a 1 f 1 a 1 c 1 a 1 f 2 a 2 + c 1 a 1 f 2 a 2 + c 2 a 2 f 2 a c m a m f m a m = c 1 a 1 ( 1 a 1 f 1 1 a 2 f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) f 2 a c m a m f m a m = c 1 a 1 S(f 1, f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) f 2 f m c m c m = a 2 a }{{ m } atkārtojam triku 23
24 c 1 a 1 S(f 1, f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 )S(f 2, f 3 ) Kritērijs ( m ) c j a j j=1 } {{ } =0 ( m 1 j=1 24 c j a j )S(f m 1, f m )+ f m a m = i,j d ij S(f i, f j ) teorēma. (divu ǧeneratoru gadījums) Kopa G = {g 1, g 2 } ir ideāla I = g 1, g 2 GB S(g 1, g 2 ) G = 0. PIERĀDĪJUMS = S(g 1, g 2 ) I G ir GB = S(g 1, g 2 ) G = 0. = Dots, ka S(g 1, g 2 ) G = 0. Jāpierāda, ka f I izpildās f G = 0.
25 Pieņemsim, ka f = h 1 g 2 + h 2 g 2. Definēsim δ = max i (mdeg(h i g i )). Izvēlēsimies tādus h i, lai δ ir minimāli iespējamais. Redzam, ka mdeg(f) δ. Pierādīsim, ka mdeg(f) = δ. Pieņemsim pretējo: mdeg(f) < δ. Ir iespējami divi gadījumi: 1. tikai vienam no polinomiem h 1 g 1 un h 2 g 2 mdeg= δ, vecāko termu saīsināšanās labajā pusē nenotiek, tāpēc mdeg(f) = δ - pretruna; 2. abiem polinomiem h 1 g 1 un h 2 g 2 mdeg= δ, labajā pusē notiek vecāko termu saīsināšanās, apskatīsim šo gadījumu zemāk. Sadalīsim saskaitāmos f izvirzījumā šādā veidā: f = h 1 g 1 + h 2 g 2 = H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 + ( ) ( ) h 1 H(h 1 ) g 1 + h 1 H(h 1 ) g 1. } {{ } mdeg<δ 25
26 26 ) mdeg(f) < δ = mdeg (H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 < δ. Apzīmēsim H(h i ) = a i X µ i. Saskaņā ar palīgteorēmām H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 = d S(X µ1 g 1, X µ2 g 2 ) = dx δ γ S(g 1, g 2 ), kur X γ = MKD(H(g 1 ), H(g 2 )). S(g 1, g 2 ) G = 0 = S(g 1, g 2 ) = t 1 g 1 + t 2 g 2, kur mdeg(t i g i ) mdeg(s(g 1, g 2 )) saskaņā ar redukcijas īpašību. Seko, ka X δ γ S(g 1, g 2 ) = X δ γ t 1 g 1 + X δ γ t 2 g 2. Ievērosim, ka mdeg(s(g 1, g 2 )) < γ = mdeg(x δ γ t i g i ) mdeg(x δ γ S(g 1, g 2 )) < δ.
27 Seko, ka H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 = dx δ γ S(g 1, g 2 ) = d(x δ γ t 1 g }{{} 1 + X δ γ t 2 g 2 ). }{{} mdeg<δ mdeg<δ Ir iegūta pretruna - f = h 1 g 1 + h 2 g 2 var izteikt formā ( ) ( ) f = d(x δ γ t 1 g }{{} 1 + X δ γ t 2 g }{{} 2 ) + h 1 H(h 1 ) g 1 + h 1 H(h 1 ) g 1, }{{} mdeg<δ mdeg<δ mdeg<δ kur katram loceklim labajā pusē mdeg< δ, bet δ pēc pieņēmuma ir mazākā iespējamā maksimālā multipakāpe teorēma. (vispārīgais gadījums) Kopa G = {g 1,..., g m } ir ideāla I = g 1,..., g m GB S(g i, g j ) G = 0, pāriem i j. 27 PIERĀDĪJUMS = Tā kā S(g i, g j ) I un G ir GB, tad S(g i, g j ) G = 0.
28 = Dots, ka S(g i, g j ) G = 0. Jāpierāda, ka f I izpildās f G = 0. Pieņemsim, ka f = m i=1 h ig i. Definēsim δ = max i (mdeg(h i g i )). Izvēlēsimies tādus h i, lai δ ir minimāli iespējamais. Redzam, ka mdeg(f) δ. Pierādīsim, ka mdeg(f) = δ. Pieņemsim pretējo: mdeg(f) < δ. Sadalīsim saskaitāmos f izvirzījumā šādā veidā: f = h i g i + h i g i = mdeg(h ig i)=δ H(h i )g i + mdeg(h ig i)=δ i: mdeg(h i g i )=δ ( ) h i H(h i ) g i + i: mdeg(h i g i )<δ mdeg(h ig i)<δ 28 h i g i. Summām mdeg(h i g i )=δ ( ) h i H(h i ) g i un mdeg(h i g i )<δ h i g i
29 multipakāpe ir stingri mazāka nekā δ. Seko, ka arī ( ) mdeg H(h i )g i < δ. mdeg(h i g i )=δ Apzīmēsim H(h i ) = α i X µ i. Saskaņā ar palīgteorēmām H(h i )g i = d jl S(X µ j g j, X µ l g l ) = d jl X δ γ jl S(g j, g l ), mdeg(h i g i )=δ j,l j,l kur X γ jl = MKD(H(g j ), H(g l )). S(g j, g l ) G = 0 = S(g j, g l ) = m u=1 t jlug u, kur mdeg(t jlu g u ) mdeg(s(g j, g l )) saskaņā ar redukcijas īpašību. Seko, ka X δ γ jl S(g j, g l ) = X δ γ jl m u=1 t jlug u. Ievērosim, ka mdeg(s(g j, g l )) < γ jl = mdeg(x δ γ jl t jlu g u ) mdeg(x δ γ jl S(g j, g l )) < δ. 29
30 30 Seko, ka H(h i )g i = d jl X δ γ jl S(g j, g l ) = mdeg(h i g i )=δ j,l j,l kur j, l, u mdeg(x δ γ jl t jlu g u ) < δ. m d jl X δ γ jl t jlu g u, u=1 Ir iegūta pretruna - f = m i=1 h ig i var izteikt formā f = m d jl X δ γ jl t jlu g u + j,l u=1 }{{} mdeg(h ig i)=δ ( ) h i H(h i ) g i } {{ } mdeg<δ + mdeg<δ mdeg(h ig i)<δ h i g i. kur katram loceklim labajā pusē mdeg< δ, bet δ pēc pieņēmuma ir mazākā iespējamā maksimālā multipakāpe.
31 2.3. Buhbergera algoritma pareizība Dots ideāls I k[x 1,..., X n ], M I ir I elementu vecāko monomu kopa. Saskaņā ar Diksona lemmu M I var noklāt ar kādas galīgas apakškopas S elementu ēnām teorēma. Buhbergera algoritms apstājas pēc galīga skaita soļu izpildes un tā rezultāts ir GB. PIERĀDĪJUMS Apzīmēsim Buhberga algoritma gaitā maināmo I ǧeneratoru kopu (topošo GB) ar G. Ja algoritms ir apstājies, tad {f i, f j } G izpildās S(f i, f j ) F = 0, tāpēc saskaņā ar Buhbergera kritēriju ir iegūta GB. Vecākais loceklis katram polinomam, kas tiek pievienots algoritma rezultātā, nedalās ne ar viena iepriekš pievienota polinoma vecāko locekli, jo tas ir redukcijas rezultāts. 31
32 Seko, ka jauna polinoma pievienošana stingri palielina G vecāko monomu kopas veidoto ēnu. Pieņemsim, ka G (un tās ēnas) palielināšana notiek bezgalīgi. Apskatīsim visu ēnu apvienojumu Ŝ. Saskaņā ar Diksona lemmu Ŝ var noklāt ar tās galīgas apakškopas T ēnām. Bet katrs no T elementiem tiks pievienots pēc galīga skaita soļiem. Ir iegūta pretruna Reducētās Grobnera bāzes vienīgums 2.9. teorēma. ideālam I k[x 1,..., X n ] viena un tikai viena RGB. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka ideālam I eksistē divas RGB {g 1,..., g m }, {h 1,..., h l }.
33 1.solis m = l un H(g i ) = H(h i ) pēc atbilstošas pārkārtošanas. i : H(h i ) H(g 1 ), pārkārtosim h-bāzes elementus tā, lai i = 1. j : H(g j ) H(h 1 ) = H(g j ) H(g 1 ) = j = 1. Redzam, ka H(g 1 ) H(h 1 ) = H(g 1 ) = H(h 1 ), jo vecāko termu koeficienti RGB ir 1. Turpinot šo spriedumu iegūsim, ka H(g 2 ) = H(h 2 ),..., H(g m ) = H(h m ) solis g i = h i. Apskatīsim g 1 h 1 I. Neviens no g 1, h 1 un tāpēc arī g 1 h 1 monomiem nedalās ne ar vienu no H(g i ), tātad g 1 h 1 = 0. Turpinot šo spriedumu, iegūsim, ka g i h i = 0 visiem i.
34 34 3.solis RGB eksistence. Pieņemsim, ka ir dota MGB {g 1,..., g m }. Veiksim savstarpējās redukcijas tik ilgi, kamēr tas ir iespējams. Redukcijas apstāsies pēc galīga skaita soļu izpildes, jo katra redukcija samazina polinomus leksikogrāfiskajā sakārtojumā. Veiksim otrā veida pārveidojumus, lai koeficienti pie vecākajiem monomiem būtu 1. Neviena redukcija nemaina polinomu vecākos locekļus, tāpēc rezultātā tiek iegūta RGB.
35 3. 11.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 11.1 Izmantojot Grobnera bāzes tuvināti atrisināt dotās PVS virs C. Ir atļauts tuvināti atrast viena argumenta polinomu saknes. (a) { X 4 + X 2 Y 2 = 0 (b) (c) X 2 Y 3 = 0 X + Y + Z = 0 XY + Y Z + ZX = 0 XY Z = 1 X 2 + Y + Z = 1 X + Y 2 + Z = 1 X + Y + Z 2 = 1
36 Virsma telpā R 3 ir uzdota parametriski ar sistēmu X = uv Y = 1 v Z = u + v uv Atrodiet sakarības starp X, Y, Z izmantojot Grobnera bāzes.
37 3.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 11.4 (Neatrisināta problēma - cyclic n-roots) n N atrisināt PVS X 0 + X X n 1 = 0 X 0 X 1 + X 1 X X n 2 X n 1 + X n 1 X 0 = 0... n 1 i=0 X ix i+1(mod n)...x i+m(mod n) = 0, m < n X 0 X 1...X n 1 = Virsma telpā R 3 ir uzdota parametriski ar sistēmu X = 3u + 3uv 2 u 3 Y = 3v + 3u 2 v v 3 Z = 3u 2 3v 2 Atrodiet sakarības starp X, Y, Z izmantojot Grobnera bāzes Piedāvājiet algoritmu, ar kura palīdzību līknes vai virsmas vispārīgo pierakstu (PVS) var pārveidot parametriskajā pierakstā ar polinomiālām vai racionālām funkcijām. 37
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākPowerPoint Presentation
Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
SīkākMicrosoft Word - 5_Mehaniskaas_iipash-3.doc
5.3.11. ĶERMEŅU SAGRŪŠANA: PLASTISKĀ UN TRAUSLĀ SAGRŪŠANA Pietiekami lielu spriegumu gadījumā attālumi, kuros struktūrvienības pārvietojas var pārsniegt saišu darbības rādiusu r S. Saites sabrūk, kā rezultātā
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākLieta Nr
ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākApstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī,
Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes 2012. gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei 2018. gada 18. oktobrī, prot. Nr. 9 Dokumenta mērķis: Dokumentā aprakstīti
SīkākKONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS
Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākPowerPoint Presentation
No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
SīkākPALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM
PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,
SīkākDual TEMP PRO
Dual TEMP PRO 1 Darbības instrukcija Rezultāta nolasījums 5 Ievietotas zondes nolasījums HACCP pārbaudes gaismas diods (LED) SCAN poga (infrasarkanā) Režīma poga Zondes poga (zondes ievietošanas) Ievads
SīkākO.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri
O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI
SīkākFizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas n
Fizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas nolēma izpētīt, cik ātri varēs sasniegt ar to ātrumu
SīkākPowerPoint Presentation
Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākFMzino_
Informatīvais ziņojums par Latvijas gatavību Eiropas Savienības finanšu resursu apguvei Šajā ziņojumā ir ietverta informācija par ES struktūrfondu (turpmāk - SF) un Kohēzijas fonda īstenošanas gaitu uz
SīkākPirkuma objekta (parasti, kapitālsabiedrības, uzņēmuma vai nekustamā īpašuma) padziļinātā juridiskā izpēte (angliski – „legal due diligence”) nu jau l
KAS IR PĀRDEVĒJA JURIDISKĀ IZPĒTE UN KAD TĀ IR VAJADZĪGA? Guntars Zīle, zvērināts advokāts, Zvērinātu advokātu biroja Lejiņš, Torgāns un Partneri Pirkuma objekta (parasti, kapitālsabiedrības, uzņēmuma
SīkākCR 90 Crystaliser Trīskārša aizsardzība pret ūdeni 1. Blīvējošais pārklājums 2. Kristalizācijas process tiek novērsta ūdens iekļūšana materiālā 3. Mik
Trīskārša aizsardzība pret ūdeni 1. Blīvējošais pārklājums 2. Kristalizācijas process tiek novērsta ūdens iekļūšana materiālā 3. Mikroplaisu blīvēšana betonā Trīskārša aizsardzība pret ūdeni ir vairāk
Sīkāk17. OLIMPIĀDE EKONOMIKĀ 2. posms gada 3. Februāris Skola: Vārds, uzvārds: Tests (22 punkti) Apvelc pareizo atbildi! Katram jautājumam drīkst apv
17. OLIMPIĀDE EKONOMIKĀ 2. posms 2016. gada 3. Februāris Skola: Vārds, uzvārds: Tests (22 punkti) Apvelc pareizo atbildi! Katram jautājumam drīkst apvilkt tikai vienu atbildi! Par katru pareizu atbildi
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākZiņojums par Kopienas Augu šķirņu biroja gada pārskatiem ar Biroja atbildēm
C 449/46 LV Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis 1.12.2016. ZIŅOJUMS par Kopienas Augu šķirņu biroja 2015. gada pārskatiem ar Biroja atbildēm (2016/C 449/08) IEVADS 1. Kopienas Augu šķirņu biroju (turpmāk
SīkākAPSTIPRINĀTS
Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas
SīkākDārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē
Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē, zaķīt! Māmiņas puķes nevar ēst! Zaķis lēkā mūsu dārzā.
SīkākZiņojums par Eiropas Darba drošības un veselības aizsardzības aģentūras 2008. finanšu gada pārskatiem, ar Aģentūras atbildēm
15.12.2009. Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis C 304/49 ZIŅOJUMS par Eiropas Darba drošības un veselības aizsardzības aģentūras 2008. finanšu gada pārskatiem, ar Aģentūras atbildēm (2009/C 304/10)
SīkākMicrosoft PowerPoint - Disleksija.ppt
Mācīšanās traucējumi: disleksija, disgrāfija, diskalkulija 2012.gada 18. aprīlī Starptautiskā Disleksijas asociācija disleksiju definē kā neiroloģiskas izcelsmes specifisku mācīšanās traucējumu. Pasaules
SīkākSIGULDAS NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģistrācijas Nr.LV , Pils iela 16, Sigulda, Siguldas novads, LV-2150 tālrunis: , e-pasts: pasvald
SIGULDAS NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģistrācijas Nr.LV 90000048152, Pils iela 16, Sigulda, Siguldas novads, LV-2150 tālrunis: 67970844, e-pasts: pasvaldiba@sigulda.lv www.sigulda.lv Siguldā NOLIKUMS Nr.7/2016
SīkākMicrosoft Word - ! SkG makets 4-5. nodala.doc
1. Ekonomikas priekšmets I variants Vārds Uzvārds Klase Punkti Datums Vērtējums 1. Apvelciet pareizās atbildes burtu (katram jautājumam ir tikai viena pareiza atbilde). (6 punkti) 1. Ražošanas iespēju
SīkākKULDĪGAS NOVADA DOME VĀRMES PAMATSKOLA Izgl.iest.reģ.Nr Vārmē, Vārmes pagastā, Kuldīgas novadā, LV-3333, tālr , tālr./fakss
KULDĪGAS NOVADA DOME VĀRMES PAMATSKOLA Izgl.iest.reģ.Nr.4112901178 Vārmē, Vārmes pagastā, Kuldīgas novadā, LV-3333, tālr. 63324284, tālr./fakss 63324169 e-pasts: varmesk@kuldiga.lv APSTIPRINĀTS Ar Kuldīgas
SīkākReliģiskā un racionālā domāšanas ceļa izvēles modelis
Reliģiskā jeb racionālā domāšanas ceļa izvēles modelis. Aigars Atvars, Biomehānikas un fizikālo pētījumu institūts, Rēzekne, Maskavas iela 22-1, LV-4604 Baznīcās parasti māca, ka pirms problēmas risināšanas
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākLatvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji
Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākMicrosoft Word - PS Edinas pakalp spec.doc
Ēdināšanas pakalpojumu speciālista profesijas standarts 1. Vispārīgie jautājumi 1. Profesijas nosaukums ēdināšanas pakalpojumu speciālists. 2. Profesijas kods 5121 26. 2. Nodarbinātības apraksts 1. Profesionālās
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2016.gada 19.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
Sīkāk30repol_atr
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republias 6.-. matemātias olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 0. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 0.. Vieādojumu pārveidojam formā ( x + )
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS VadZPB10 STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Inovāciju vadība un ekoi
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS VadZPB10 STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Inovāciju vadība un ekoinovācija Kursa nosaukums angliski Innovation Management and Eco Innovation Kursa nosaukums
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākStudiju programmas raksturojums
Studiju programmas raksturojums Doktora studiju programma Politikas zinātne studiju programmas nosaukums 2015./2016. akadēmiskais gads 1. Studiju programmas nosaukums, iegūstamais grāds, profesionālā kvalifikācija
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA OZOLNIEKU NOVADA OZOLNIEKU VIDUSSKOLA Reģ. Nr , Jelgavas iela 35, Ozolnieki, Ozolnieku pagasts, Ozolnieku novads, LV-30
LATVIJAS REPUBLIKA OZOLNIEKU NOVADA OZOLNIEKU VIDUSSKOLA Reģ. Nr. 90001623310, Jelgavas iela 35, Ozolnieki, Ozolnieku pagasts, Ozolnieku novads, LV-3018 Tālr./fakss 63050688, tālr. 63050188, e-pasts: ozolniekuvsk@apollo.lv,
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
Sīkāk1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija CPD Knauf Termo Plus M, ETA 10/0320 sask. ar ETAG 004 Nr.
1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija 10 1020 CPD 020-024918 Knauf Termo Plus M, ETA 10/0320 sask. ar ETAG 004 Nr. 0115 Knauf Termo Plus M Ārējās siltumizolācijas kombinētā
SīkākSlide 1
IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils
SīkākMicrosoft Word - Lekcija_Nr3.doc
INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto
Sīkāk